TUGAS MATEMATIKA EKONOMI KELOMPOK 5

BAB I

PENDAHULUAN

1.                  LATAR BELAKANG

         Matematika sebagai alat untuk analisis dalam berabagai bidang cabang disiplin ilmu, mempunyai peranan sangat menonjol sesuai dengan perkembangan ilmu pengetahuan, baik mempelajari teori ekonomi ilmu-ilmu sosial, matematika semakin banyak digunakan sebagai alat untuk mempermudah pemecahan masalah serta sebagai alat untuk mengambil keputusan ataupun perencanaan. Penggunaan matematika dalam berbagai disiplin ilmu dinamakan sebagai matematika terapan, salah satunya adalah persamaan diferensial, maka model penggunaan diferensial ini dinamakan sebagai diferensial terapan atau aplikasi diferensial. Perhitungan diferensial merupakan suatu perhitungan yang menyangkut masalah perubahan fungsi, maka sebagai kaitan permasalahan yang muncul di dalam teori ekonomi di antaranya penghitungan Laba (keuntungan), Investasi serta Pajak.

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Diferensial dapat pula di sidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaat-manfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi.

2.                  RUMUSAN MASALAH

            Rumusan masalah pada penulisan makalah ini adalah penerapan  persamaan diferensial pada matematika ekonomi dan bisnis.

BAB 2

PEMBAHASAN

1.1.  LIMIT DAN KONTINUITAS

1.1.1.      PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

Definisi : Fungsi dikatakan mempunyai limit  untuk bila untuk setiap bilangan positif e yang diberikan,  terdapatlah bilangan positif d sedemikian hingga untuk semua nilai x dimana <  < d  berlaku   < e

 

Secara grafis diragakan :

 

Pernyataan  <  < d  berarti  x berada diantara  ( - d ) dan  ( + d ) atau

 ( - d ) < x <  ( + d ) . Dalam hal d cukup kecil maka  x sangat mendekati  ( x®  , x ¹  ).

Dengan kalimat sederhana, arti geometris definisi tersebut di atas adalah sebagai berikut :

Fungsi f(x) dikatakan mempunyai nilai mendekati L untuk x mendekati  bila dan hanya bila setiap kali di tetapkan  nilai e positif kecil, selalu dapat di temukan nilai  d sedemikian hingga selisih harga antara f(x) dan L selalu lebih kecil dari  e   bila  jarak antara x dan  kurang dari  d .

Contoh :  Buktikan  ( ) = 1

Penyelesaian : Untuk setiap harga e positif (e > 0), harus dapat ditemukan d positif ( d > 0 ) sedemikian hingga apabila  0 < |x-0| < d  maka |f(x)-1| <  e atau

Caranya : | ( ) - 1|  =  | |

   £

<       

<       

<        4

Dengan mengambil  d < e  maka diperoleh |f(x)-1| <  e ,

1.1.2.      PENGERTIAN KONTINUTAS

Fungsi kontinutas: dalam matematika adalah fungsi, yang bila dijelaskan secara intuitif, perubahan kecil dalam masukannya berakibat perubahan kecil pula pada keluaran. Bila tidak demikian, fungsi tersebut dikatakan diskontinu. Fungsi kontinu dengan fungsi invers kontinu pula disebut bikontinu. Gagasan intuitif kekontinuan dapat diberikan oleh pernyataan bahwa fungsi kontinu adalah fungsi yang grafiknya dapat digambar tanpa mengangkat kapur dari papan tulis

Contoh

      (a). Fungsi f dengan rumus  diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.

(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh

  

               

diskontinu di x = 0  sebab   tidak ada.

(c). Fungsi g dengan definisi:

             

diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan . Namun demikian fungsi g kontinu di x = 1 sebab .

1.2.  PENGERTIAN DIFERENSIAL

diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.

CONTOH DIFERENSIAL

.      Tentukan turunan pertama dari y = 5x2 + 7 adalah . . .

                                                          4x + 3

Jawab :

y = 5x2 + 7, kita misalkan U = 5x2+7 maka du/dx = 10 x

      4x +  3                         V = 4x + 3 maka dv/dx = 4

= V. du/dx – U. dv/dx

                              V2

= (4x+3) (10x) – (5x2 + 7) (4)

                 (4x + 3)2

= 40x2 + 30x – 20x2 – 28

              (4x + 3)2

= 20x2 + 30x – 28

         (4x + 3)2

1.3.1. The Difference Quotient

Fungsi (a primitive function)  :   y = f (x)

Kemudian, nilai fungsi atau dependent variable  y  berubah dari  y₀ =      f (x₀)  ke y₁ =  f (x₁), karena nilai independent variable  x  berubah dari  x₀ ke x₁.

Maka timbul  :      ∆y/∆x 

yaitu perubahan pada varabel  y  karena perubahan per unit atau 1 unit pada variabel  x  (the change in  y  per unit of change in  x), yang dinyatakan dengan istilah the difference quotient :

   

Diagram :   The Difference Quotient atau the Function Slope

   y                                                                                         y = f (x)

                                                         y                                           

                                                                                                                  

                                               ∆y                                                     

                                                                                                                         f (x + ∆x) − f (x) = ∆y         

                                                                                                                                       

                                   ∆x                                                  ∆x                 

                                                                                                               f (x + ∆x)

                                                                              f (x)                                                                                                                                                               

   0                              ∆x               x        0                        ∆x                          x

                           x₀       x₁ = x_{0 +} ∆x                              x₀                        x₁= x₀ +∆x                                                                             

     

    Contoh :

      y = f (x) = 3 x² − 4 → a primitive function

      =

             

              6 x₀ ∆x + 3 (∆x)²

        =  −−−−−−−−−−−−−  =   6 x₀ + 3 ∆x = 6.3 + 3.4 =30

                      ∆x apabila x₀ = 3 dan ∆x = 4

  Artinya, secara rata-rata, perubahan x dari 3 ke 7 menyebabkan perubahan pada fungsi atau  y sebesar 30 unit untuk setiap unit perubahan x atau per unit perubahan x.

1.3.2. eksponensial

Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau e^x, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.

Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.

Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik e^x selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif.

a.       Eksponen dan Sifat-sifatnya Sebagaimana telah kita ketahui, bahwa notasi eksponen atau notasi pangkat sangat berguna untuk menuliskan hasil kali sebuah bilangan dengan bilangan itu sendiri dalam bentuk yang lebih ringkas, misalnya : (1). 34 = 3 x 3 x 3 x 3 (2) -2 5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) Sekarang sudah menjadi kelaziman untuk menuliskan perkalian sembarang bilangan real a sebanyak n kali, yaitu a x a x a x … x a sebagai an . Dengan kata lain didefinisikan bahwa untuk setiap a E R (himpunan bilangan real) dengan n bilangan bulat positif, notasi an adalah hasil kali n buah faktor a, atau a n = a x a x a x … x a. Tentunya kita masih ingat dengan baik, bahwa bentuk an dibaca “a pangkat n” atau „ a eksponen n”. Bilangan a dinamakan bilangan pokok atau basis, sedangkan bilanangan n dinamakan pangkat atau eksponen atau indeks.

Contoh:

            Nilai dari  

Jawab:

.

1.3.3. logaritma

Operasi logaritma dapat diartikan sebagai operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya.

Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka X = an. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai :

alog x = n ↔ x = an

a = bilangan pokok atau basis, a>0 ; a ≠1

x = yang dicari nilai logaritmanya, x>1

n = hasil logaritma

contoh:

 1.  Jika 2log x = 3

     Tentukan nilai x = ….

            Jawab:

            2log x = 3  à x = 23

                                     x = 8.

1.4.Garis singgung parabola melalui titik pada parabola

Pada pembahasan kali ini kita akan membahas tentang persamaan garis singgung pada parabola yang melalui titik di parabola.

Pada parabola yang membuka ke kiri/kanan

Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola di titik (x₁, y₁) yang terletak pada parabola, pertama kita pandang parabola dalam bentuk y² = 4px dan rumus persamaan garis singgung .

Also Read:

§  Menghitung modal akhir dengan Bunga Tunggal

persamaan garis singgung parabola y² = 4px dengan kemiringan m adalah . Jika titik (x₁, y₁) merupakan titik singgung garis pada parabola, maka akan berlaku

 ……………………………(1)

Sekarang nilai m akan kita cari dalam bentuk x₁, y₁ dan c yang mana parameter itu sudah diketahui/diberikan.

Kalikan masing-masing ruas pada persamaan (1) dengan m diperoleh bentuk persamaan kuadrat

x₁m² – y₁m + p = 0

yang memberikan penyelesaian untuk m

 …………………..(2)

Karena titik (x₁, y₁) juga terletak pada parabola maka juga berlaku hubungan

y₁² = 4px₁ …………………………………………………(3)

sehingga jika disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh

 ……………………………………..(4)

Jika nilai m disubstitusikan ke persamaan garis singgung diperoleh

y = mx + 

. 

Substitusi nilai y₁² = 4px₁ ke persamaan di atas diperoleh

y₁y = 2p(x + x₁)

Jadi jika P(x₁, y₁) titik pada parabola y² = 4px, maka persamaan garis singgung parabola di titik P diberikan oleh persamaan

y₁y = 4p½(x + x₁)  ………………………………………(5)

Misalkan P(x₁ , y₁) titik pada parabola (y – k)² = 4p(x – h), maka persamaan garis singgung parabola di titik P dapat dicari dari persamaan (5) dengan mentranslasikan sumbu-sumbu koordinat sedemikian hingga titik asal (0, 0) menjadi titik dengan koordinat (h, k), yaitu dengan substitusi

(y₁ – k)(y – k) = 4p(½(x + x₁) – h) ……………………………………(6)

Jika parabola dalam bentuk umum Cy² + Dx + Ey + F = 0, maka persamaan garis singgung parabola yang menyinggung di titik P(x₁, y₁) dapat dituliskan dalam bentuk:

Cy₁y + ½D(x + x₁) + ½E(y + y₁) + F = 0 ……………………………………………. (7)

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung parabola y² = 8x di titik yang mempunyai ordinat 4.

Jawab:

Kita nyatakan parabola dalam bentuk baku

y² = 8x

y² = 4.2x

Dari persamaan di atas terlihat bahwa p = 2 dan puncak parabola di titik (0, 0)

Untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada parabola dengan ordinat 4, kita masukkan y = 4 pada parabola maka diperoleh absis

4² = 8x

x = 2

Jadi titik singgung yang dimaksud adalah (2, 4). Dengan mempergunakan persamaan (5) kita peroleh

4y = 2.2(x + 2)

⇒4y = 4x + 8

⇒x – y + 2 = 0

BAB III

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Persamaan differensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Teori persamaan differensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan differensial terbagi menjadi dua yaitu persamaan differensial biasa dan persamaan differensial parsial. Persamaan differensial biasa (PDB) adalah persamaan differensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Persamaan differensial parsial (PDP) adalah persamaan differensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial.

Didalam persamaan differensial biasa, dipelajari tentang konsep persamaan differensial linear dan Persamaan differensial linear orde satu.  Persamaan differensial linear adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu yaitu turunan dengan satu peubah bebas. Sedangkan Persamaan differensial linear orde satu adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu dimana turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut adalah satu.

Bentuk persamaan differensial linear

Bentuk persamaan differensial linear orde satu

Persamaan differensial sangat menarik dipelajari, karena persamaan differensial memegang peranan penting dalam berbagai macam ilmu. Oleh karena itu sangatlah penting bagi kita untuk memahami persamaan differensial, khususnya persamaan differensial linear orde satu.

3.2.  Saran

Sebaiknya kita harus memahami dan mengerti tentang persamaan diferensial  baik dari bentuk umumnya sampai pada penyelesaiannya. Karena dengan menguasai  persamaan differensial, kita akan lebih mudah menyelesaikan permasalahan dalam persamaan differensial biasa. Selain itu, kita juga harus paham tentang teknik – teknik turunan maupun teknik pengintegralan yang pernah dipelajari pada mata kuliah kalkulus sebelumnya. Hal ini agar dapat mempermudah dalam menyelesaikan soal – soal persamaan differensial biasa, karena dalam persamaan differensial sangat berkaitan dengan turunan dan integral